Zeal Study Quiz Corner
UG TRB Mathematics - Unit 1 & 2: Theory of Equations, Matrices & Trigonometry
Zeal UG TRB Exam Preparation (30 Marks)
ax³ + bx² + cx + d = 0 ➔ Σα = -b/a, Σαβ = c/a, αβγ = -d/a
வியட்டாவின் தொடர்புகள் (Vieta's Relations for Cubic Equations)
1. மெய் கெழுக்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாட்டின் கற்பனை மூலங்கள் (Imaginary roots) எப்போதும் எவ்வாறு அமையும்?
In a polynomial equation with real coefficients, imaginary roots always occur in:
விளக்கம்: மெய்க் கெழுக்களைக் கொண்ட சமன்பாட்டின் கற்பனை மூலங்கள் எப்போதும் (a + ib) மற்றும் (a - ib) என்ற இணைச் சோடிகளாகவே (Conjugate pairs) அமையும்.
Explanation: Complex roots of polynomials with real coefficients always occur in conjugate pairs (a ± ib).
Explanation: Complex roots of polynomials with real coefficients always occur in conjugate pairs (a ± ib).
2. விகிதமுறு கெழுக்களைக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் (2 + √3) எனில், அதன் மற்றொரு மூலம் என்ன?
If (2 + √3) is a root of a polynomial equation with rational coefficients, then another root is:
விளக்கம்: விகிதமுறா மூலங்கள் எப்போதும் (p + √q) மற்றும் (p - √q) என்ற இணைச் சோடிகளாக அமையும். எனவே மற்றொரு மூலம் (2 - √3) ஆகும்.
Explanation: Irrational roots always occur in conjugate pairs for rational coefficient polynomials.
Explanation: Irrational roots always occur in conjugate pairs for rational coefficient polynomials.
3. x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 என்ற முப்படிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் கூடுதல் (Sum of the roots - Σα) என்ன?
Find the sum of roots (Σα) for the cubic equation x³ - 6x² + 11x - 6 = 0:
விளக்கம்: வியட்டாவின் சூத்திரப்படி, Σα = -(-6)/1 = 6.
Explanation: By Vieta's formula, sum of roots Σα = -b/a = -(-6)/1 = 6.
Explanation: By Vieta's formula, sum of roots Σα = -b/a = -(-6)/1 = 6.
4. x³ + px² + qx + r = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் (Product of roots - αβγ) என்ன?
What is the product of roots (αβγ) for the cubic equation x³ + px² + qx + r = 0?
விளக்கம்: முப்படிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் பெருக்கல் αβγ = -d/a = -r/1 = -r.
Explanation: Product of roots for a cubic polynomial is given by αβγ = -d/a = -r.
Explanation: Product of roots for a cubic polynomial is given by αβγ = -d/a = -r.
5. ஒரு சமன்பாட்டின் கெழுக்கள் தலைகீழாக மாறினாலும் சமன்பாடு மாறாமல் இருந்தால், அச்சமன்பாடு எவ்வாறு அழைக்கப்படுகிறது?
An equation whose form remains unchanged when x is replaced by 1/x is called a:
விளக்கம்: x க்குப் பதிலாக 1/x எனப் பிரதியிடும் போதும் மாறாமல் இருக்கும் சமன்பாடுகள் தலைகீழ் சமன்பாடுகள் (Reciprocal Equations) எனப்படும்.
Explanation: Replacing x with 1/x yields the exact original equation in reciprocal equations.
Explanation: Replacing x with 1/x yields the exact original equation in reciprocal equations.
6. டெஸ்கார்டெஸின் குறி விதிப்படி (Descartes' Rule of Signs), p(x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையில் நிகழும் குறியீட்டு மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை எதனைக் குறிக்கிறது?
According to Descartes' Rule of Signs, the number of sign changes in p(x) gives the maximum number of:
விளக்கம்: p(x)-இல் குறியீடுகள் எத்தனை முறை மாறுகின்றவோ, அத்தனைக்கு மிகையாகாத மிகை மெய் மூலங்கள் (Positive real roots) இருக்கும்.
Explanation: Number of sign changes in p(x) determines the maximum possible positive real roots.
Explanation: Number of sign changes in p(x) determines the maximum possible positive real roots.
7. முப்படிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கப் பயன்படும் புகழ்பெற்ற முறை எது?
Which classical method is used to solve cubic equations directly?
விளக்கம்: முப்படிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கக் கார்டனின் முறையும் (Cardan's Method), நாற்படிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க ஃபெராரி முறையும் (Ferrari's Method) பயன்படுகின்றன.
Explanation: Cardan's method solves cubic equations, while Ferrari's method solves biquadratic equations.
Explanation: Cardan's method solves cubic equations, while Ferrari's method solves biquadratic equations.
8. நாற்படிச் சமன்பாடுகளைத் (Quartic / Biquadratic Equations) தீர்க்க உதவும் முறை எது?
Which method is employed to solve quartic (fourth-degree) polynomial equations?
விளக்கம்: நாற்படிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு ஃபெராரியின் முறை (Ferrari's Method) பயன்படுத்தப்படுகிறது.
Explanation: Ferrari's technique reduces a quartic equation to a resolvent cubic equation.
Explanation: Ferrari's technique reduces a quartic equation to a resolvent cubic equation.
9. பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாட்டின் தோராய மூலங்களை (Numerical approximation of roots) மிகத் துல்லியமாகக் கணக்கிட உதவும் முறை எது?
Which method is used to determine the numerical approximate roots of a polynomial equation digit by digit?
விளக்கம்: ஹார்னர் முறை (Horner's Method) மூலங்களின் தசம மதிப்புகளைத் துல்லியமாகக் கணக்கிடப் பயன்படுகிறது.
Explanation: Horner's method provides a numerical approximation for real roots of polynomial equations.
Explanation: Horner's method provides a numerical approximation for real roots of polynomial equations.
10. சதுர அணி A-க்கு Aᵗ = A என அமைந்தால், அந்த அணி எவ்வாறு அழைக்கப்படும்?
A square matrix A is said to be Symmetric if:
விளக்கம்: Aᵗ = A எனில் அது சமச்சீர் அணி (Symmetric matrix). Aᵗ = -A எனில் அது எதிர் சமச்சீர் அணி (Skew-symmetric matrix) ஆகும்.
Explanation: If transpose of a matrix equals the matrix itself (Aᵗ = A), it is Symmetric.
Explanation: If transpose of a matrix equals the matrix itself (Aᵗ = A), it is Symmetric.
11. எதிர் சமச்சீர் அணியின் (Skew-Symmetric Matrix) முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகள் (Diagonal elements) எப்போதும் எவ்வாறு இருக்கும்?
The principal diagonal elements of a Skew-Symmetric matrix are always:
விளக்கம்: எதிர் சமச்சீர் அணியில் a_ij = -a_ji. மூலைவிட்ட உறுப்புகளுக்கு i = j என்பதால் a_ii = -a_ii => 2a_ii = 0 => a_ii = 0.
Explanation: For diagonal elements in a skew-symmetric matrix, a_ii = -a_ii, which forces a_ii = 0.
Explanation: For diagonal elements in a skew-symmetric matrix, a_ii = -a_ii, which forces a_ii = 0.
12. ஒரு சதுர அணி A-க்கு A × Aᵗ = Aᵗ × A = I எனில், அது எவ்வகை அணி?
A square matrix A is called Orthogonal if:
விளக்கம்: A × Aᵗ = I எனில், A என்பது ஒரு செங்குத்து அணி (Orthogonal Matrix) ஆகும். இதில் A⁻¹ = Aᵗ.
Explanation: An Orthogonal matrix satisfies the condition A × Aᵗ = Aᵗ × A = I.
Explanation: An Orthogonal matrix satisfies the condition A × Aᵗ = Aᵗ × A = I.
13. ஒரு சதுர அணி A-க்கு A² = A என அமைந்தால், அச்சதுர அணி எவ்வாறு அழைக்கப்படுகிறது?
A square matrix A is called Idempotent if:
விளக்கம்: A² = A எனில் A என்பது தன்னடுக்கு அணி (Idempotent Matrix) எனப்படும்.
Explanation: An Idempotent matrix yields itself when multiplied by itself (A² = A).
Explanation: An Idempotent matrix yields itself when multiplied by itself (A² = A).
14. ஒரு சதுர அணி A-க்கு A² = I என அமைந்தால், அச்சதுர அணி எவ்வாறு அழைக்கப்படுகிறது?
A square matrix A is called Involutory if:
விளக்கம்: A² = I எனில் A என்பது சுயமுறிவளி அணி (Involutory Matrix) எனப்படும். இதில் A⁻¹ = A.
Explanation: An Involutory matrix is its own inverse, satisfying A² = I.
Explanation: An Involutory matrix is its own inverse, satisfying A² = I.
15. ஏதேனும் ஒரு மிகை முழு 'k'-க்கு A^k = 0 என அமைந்தால், A எவ்வகை அணி ஆகும்?
A square matrix A is called Nilpotent if there exists a positive integer k such that:
விளக்கம்: குறிப்பிட்ட அடுக்கு k-க்கு A^k = 0 என அமைந்தால் A என்பது பூஜ்ய அடுக்கு அணி (Nilpotent Matrix) எனப்படும்.
Explanation: Nilpotent matrix yields the zero matrix when raised to a positive integer power k.
Explanation: Nilpotent matrix yields the zero matrix when raised to a positive integer power k.
16. கேலி-ஹேமில்டன் தேற்றத்தின்படி (Cayley-Hamilton Theorem), ஒவ்வொரு சதுர அணியும் எதனை திருப்திப்படுத்தும்?
According to Cayley-Hamilton Theorem, every square matrix satisfies its own:
விளக்கம்: கேலி-ஹேமில்டன் தேற்றம்: ஒவ்வொரு சதுர அணியும் அதன் சொந்த சிறப்பியல்புச் சமன்பாட்டை (|A - λI| = 0) திருப்திப்படுத்தும்.
Explanation: Cayley-Hamilton theorem states that every square matrix satisfies its characteristic polynomial equation.
Explanation: Cayley-Hamilton theorem states that every square matrix satisfies its characteristic polynomial equation.
17. ஒரு அணியின் ஐகன் மதிப்புகளின் (Eigen Values) கூடுதல் எதற்குச் சமம்?
The sum of the Eigen values of a square matrix is equal to:
விளக்கம்: ஐகன் மதிப்புகளின் கூடுதல் = அணியின் டிரேஸ் (Trace of A = முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளின் கூடுதல்).
Explanation: Sum of Eigen values equals the sum of the main diagonal elements (Trace of A).
Explanation: Sum of Eigen values equals the sum of the main diagonal elements (Trace of A).
18. ஒரு அணியின் ஐகன் மதிப்புகளின் பெருக்கற்பலன் (Product of Eigen Values) எதற்குச் சமம்?
The product of the Eigen values of a square matrix A is equal to:
விளக்கம்: ஐகன் மதிப்புகளின் பெருக்கற்பலன் = அணியின் அணிக்கோவை மதிப்பு |A| ஆகும்.
Explanation: Product of Eigenvalues λ₁λ₂...λₙ = Determinant |A|.
Explanation: Product of Eigenvalues λ₁λ₂...λₙ = Determinant |A|.
19. டி-மாய்பரின் தேற்றத்தின்படி (De Moivre's Theorem), (cos θ + i sin θ)^n இன் விரிவு என்ன?
According to De Moivre's Theorem, (cos θ + i sin θ)^n is equal to:
விளக்கம்: டி-மாய்பரின் தேற்றத்தின்படி, அனைத்து மெய்யெண் 'n'-க்கும் (cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ) ஆகும்.
Explanation: De Moivre's formula states that (cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ).
Explanation: De Moivre's formula states that (cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ).
20. ஹைபர்போலிக் சார்புகளில் (Hyperbolic functions) cosh²x - sinh²x இன் மதிப்பு என்ன?
In hyperbolic functions, what is the value of cosh²x - sinh²x?
விளக்கம்: வட்டச் சார்புகளில் cos²x + sin²x = 1. ஆனால் ஹைபர்போலிக் சார்புகளில் cosh²x - sinh²x = 1 ஆகும்.
Explanation: The fundamental identity for hyperbolic functions is cosh²x - sinh²x = 1.
Explanation: The fundamental identity for hyperbolic functions is cosh²x - sinh²x = 1.
21. e^(ix) என்ற ஆய்லரின் சூத்திரத்தின் (Euler's Formula) விரிவு என்ன?
Euler's formula states that e^(ix) is equal to:
விளக்கம்: e^(ix) = cos x + i sin x. மேலும் e^(-ix) = cos x - i sin x.
Explanation: Euler's formula establishes the fundamental relationship e^(ix) = cos x + i sin x.
Explanation: Euler's formula establishes the fundamental relationship e^(ix) = cos x + i sin x.
22. sinh x இன் அதிவேகக் கோவை வரையறை (Exponential definition) எது?
The exponential definition of sinh x is:
விளக்கம்: sinh x = (e^x - e^(-x))/2 மற்றும் cosh x = (e^x + e^(-x))/2.
Explanation: By definition, hyperbolic sine is sinh x = (e^x - e^(-x)) / 2.
Explanation: By definition, hyperbolic sine is sinh x = (e^x - e^(-x)) / 2.
23. sin(ix) என்ற கலப்பு எண்ணின் ஹைபர்போலிக் தொடர்பு எது?
The relation between sin(ix) and hyperbolic sine is:
விளக்கம்: sin(ix) = i sinh x மற்றும் cos(ix) = cosh x.
Explanation: Identity connecting circular and hyperbolic sine: sin(ix) = i sinh x.
Explanation: Identity connecting circular and hyperbolic sine: sin(ix) = i sinh x.
24. log(x + iy) இன் மெய்ப் பகுதி (Real part) என்ன?
The real part of the complex logarithm log(x + iy) is:
விளக்கம்: log(x + iy) = (1/2) log(x² + y²) + i tan⁻¹(y/x). மெய்ப் பகுதி (1/2) log(x² + y²) ஆகும்.
Explanation: Real part of log(z) is log|z| = log√(x² + y²) = (1/2) log(x² + y²).
Explanation: Real part of log(z) is log|z| = log√(x² + y²) = (1/2) log(x² + y²).
25. log(x + iy) இன் கற்பனைப் பகுதி (Imaginary part / Argument) என்ன?
The imaginary part of log(x + iy) is:
விளக்கம்: log(x + iy) இன் கற்பனைப் பகுதி அதன் முதன்மை வீச்சு Argument θ = tan⁻¹(y/x) ஆகும்.
Explanation: Imaginary part of complex logarithm is the argument Arg(z) = tan⁻¹(y/x).
Explanation: Imaginary part of complex logarithm is the argument Arg(z) = tan⁻¹(y/x).
26. log(i) இன் முதன்மை மதிப்பு (Principal Value) என்ன?
What is the principal value of log(i)?
விளக்கம்: i = e^(i π/2). எனவே log(i) = log(e^(i π/2)) = i (π/2).
Explanation: Since i = e^(i π/2), taking natural log yields log(i) = i (π/2).
Explanation: Since i = e^(i π/2), taking natural log yields log(i) = i (π/2).
27. i^i இன் மதிப்பு (Value of i raised to power i) எவ்வகை எண்?
The value of i^i is purely:
விளக்கம்: i = e^(i π/2). i^i = (e^(i π/2))^i = e^(i² π/2) = e^(-π/2). இது முற்றிலும் ஒரு மெய்யெண் ஆகும்.
Explanation: i^i = e^(i ln i) = e^(i × i π/2) = e^(-π/2), which is purely real.
Explanation: i^i = e^(i ln i) = e^(i × i π/2) = e^(-π/2), which is purely real.
28. 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... என்ற கிரிகோரி தொடரின் (Gregory's Series) கூடுதல் எதற்குச் சமம்?
The infinite series 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... converges to:
விளக்கம்: tan⁻¹(x) = x - x³/3 + x⁵/5 - ... x = 1 எனப் பிரதியிட: tan⁻¹(1) = π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...
Explanation: Substituting x = 1 into tan⁻¹(x) series yields Gregory's series sum π/4.
Explanation: Substituting x = 1 into tan⁻¹(x) series yields Gregory's series sum π/4.
29. sin x இன் மெக்லாரின் தொடர் விரிவு (Maclaurin's series for sin x) எது?
The Maclaurin series expansion for sin x is:
விளக்கம்: sin x = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ... (ஒற்றைப் படைகளின் மாற்றுக்குறிக் கூட்டுத் தொடர்).
Explanation: Power series of sin x contains odd powers of x with alternating signs.
Explanation: Power series of sin x contains odd powers of x with alternating signs.
30. cos x இன் மெக்லாரின் தொடர் விரிவு (Maclaurin's series for cos x) எது?
The Maclaurin series expansion for cos x is:
விளக்கம்: cos x = 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + ... (இரட்டைப் படைகளின் மாற்றுக்குறிக் கூட்டுத் தொடர்).
Explanation: Power series of cos x contains even powers of x starting with 1 with alternating signs.
Explanation: Power series of cos x contains even powers of x starting with 1 with alternating signs.
إرسال تعليق