Zeal Study Quiz Corner
UG TRB Mathematics - Part 2: Complex Analysis, Mechanics, OR & Statistics
Zeal UG TRB Exam Preparation (30 Marks)
C-R Equations: du/dx = dv/dy & du/dy = -dv/dx | Laplace: d²u/dx² + d²u/dy² = 0
காச்சி-ரீமான் மற்றும் லேப்லாஸ் சமன்பாடுகள் (Cauchy-Riemann & Laplace Equations)
1. கார்டீசியன் ஆயத்தொலைவுகளில் f(z) = u(x,y) + i v(x,y) என்ற சார்பு பகுப்பாய்வு சார்பாக (Analytic Function) இருப்பதற்கான காச்சி-ரீமான் (Cauchy-Riemann) சமன்பாடுகள் எவை?
The Cauchy-Riemann equations in Cartesian form for f(z) = u + iv to be analytic are:
விளக்கம்: காச்சி-ரீமான் சமன்பாடுகள்: du/dx = dv/dy மற்றும் du/dy = -dv/dx (ux = vy & uy = -vx) ஆகும்.
Explanation: Necessary conditions for analyticity are C-R equations: ux = vy and uy = -vx.
Explanation: Necessary conditions for analyticity are C-R equations: ux = vy and uy = -vx.
2. u(x,y) என்ற மெய்ச்சார்பு லேப்லாஸ் சமன்பாட்டைத் (d²u/dx² + d²u/dy² = 0) திருப்திப்படுத்தினால், அச்சார்பு எவ்வாறு அழைக்கப்படும்?
A real-valued function satisfying Laplace equation in a domain is called a:
விளக்கம்: லேப்லாஸ் சமன்பாட்டைத் திருப்திப்படுத்தும் தொடர்ச்சியான இரண்டாம் நிலை பகுதி வகைக்கெழுக்களைக் கொண்ட சார்பு இசைச்சார்பு (Harmonic Function) எனப்படும்.
Explanation: Functions satisfying ∇²u = 0 are called Harmonic functions.
Explanation: Functions satisfying ∇²u = 0 are called Harmonic functions.
3. w = f(z) என்ற உருமாற்றம் (Mapping) கோணங்களின் அளவையும் திசையையும் மாறாமல் பாதுகாத்தால், அவ்வுருமாற்றம் எவ்வாறு அழைக்கப்படும்?
A mapping that preserves both the magnitude and orientation of angles between curves is called:
விளக்கம்: கோணங்களின் அளவையும் திசையையும் மாறாமல் பாதுகாக்கும் உருமாற்றம் 'கான்ஃபார்மல் உருமாற்றம்' (Conformal Mapping) எனப்படும்.
Explanation: Conformal mapping preserves angle magnitude as well as sense of orientation.
Explanation: Conformal mapping preserves angle magnitude as well as sense of orientation.
4. w = (az + b) / (cz + d) என்ற இருநேரியல் உருமாற்றம் (Bilinear Transformation) இருவழிச் சார்பாக (Bijective) இருப்பதற்கான நிபந்தனை என்ன?
The condition for the bilinear transformation w = (az + b) / (cz + d) to be non-degenerate is:
விளக்கம்: ad - bc ≠ 0 எனில் மட்டுமே அது செல்லுபடியாகும் இருநேரியல் உருமாற்றமாகும். ad - bc = 0 எனில் w மாறிலியாகிவிடும்.
Explanation: If ad - bc = 0, the transformation collapses to a constant. Hence ad - bc ≠ 0 is required.
Explanation: If ad - bc = 0, the transformation collapses to a constant. Hence ad - bc ≠ 0 is required.
5. w = f(z) என்ற இருநேரியல் உருமாற்றத்தில் f(z) = z என அமையும் 'z' இன் புள்ளிகள் எவ்வாறு அழைக்கப்படுகின்றன?
Points z which satisfy the relation f(z) = z under a transformation are called:
விளக்கம்: உருமாற்றத்திற்குப் பிறகும் மாறாமல் தங்களுக்குத்தானே மேப் ஆகும் புள்ளிகள் நிலையான புள்ளிகள் (Fixed/Invariant Points) எனப்படும்.
Explanation: Fixed or invariant points satisfy the equation w = z.
Explanation: Fixed or invariant points satisfy the equation w = z.
6. மூடிய வளைவரை C-க்குள் f(z) ஒரு பகுப்பாய்வுச் சார்பு எனில், காச்சியின் தொகையீட்டுத் தேற்றத்தின்படி (Cauchy's Integral Theorem) ∫_C f(z) dz இன் மதிப்பு என்ன?
By Cauchy's Integral Theorem, if f(z) is analytic within and on a simple closed contour C, then ∫_C f(z) dz equals:
விளக்கம்: காச்சி தேற்றத்தின்படி, மூடிய பாதை C-க்குள் f(z) அனாலிடிக் எனில், அ மூடிய பாதையில் அதன் தொகையீட்டு மதிப்பு 0 ஆகும்.
Explanation: Cauchy's Integral Theorem states that contour integral of an analytic function over a closed curve is 0.
Explanation: Cauchy's Integral Theorem states that contour integral of an analytic function over a closed curve is 0.
7. முழுச் சார்பு (Entire Function) ஒன்று எல்லைக்குட்பட்டதாக (Bounded) இருந்தால், அது ஒரு மாறிலிச் சார்பாகும் எனக் கூறும் தேற்றம் எது?
Which theorem states that every bounded entire function must be a constant function?
விளக்கம்: சிக்கல் தளத்தில் எல்லைக்குட்பட்ட அனைத்து என்டயர் சார்புகளும் மாறிலிச் சார்புகளே என்பது லியோவில்லின் தேற்றம் (Liouville's Theorem) ஆகும்.
Explanation: Liouville's Theorem proves that a bounded entire function is constant.
Explanation: Liouville's Theorem proves that a bounded entire function is constant.
8. காச்சியின் மீதித் தேற்றத்தின்படி (Cauchy's Residue Theorem) ∫_C f(z) dz இன் மதிப்பு என்ன?
According to Cauchy's Residue Theorem, the contour integral ∫_C f(z) dz equals:
விளக்கம்: காச்சி மீதித் தேற்றம்: ∫_C f(z) dz = 2πi × (சுற்றுப் பாதைக்குள்ள அமைந்த சிங்குலாரிட்டி புள்ளிகளின் மீதிகளின் கூடுதல்).
Explanation: Cauchy's Residue Theorem: ∫_C f(z) dz = 2πi × ∑ Res(f, z_k).
Explanation: Cauchy's Residue Theorem: ∫_C f(z) dz = 2πi × ∑ Res(f, z_k).
9. ஒரு தளத்தில் இயங்கும் மூன்று விசைகள் சமநிலையில் (Equilibrium) இருந்தால், ஒவ்வொரு விசையும் மற்ற இரு விசைகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தின் சைன் (Sin) மதிப்பிற்கு நேர்விகிதத்தில் இருக்கும் எனக் கூறும் தேற்றம் எது?
Which theorem states that if three coplanar forces acting at a point are in equilibrium, each force is proportional to the sine of the angle between the other two?
விளக்கம்: லாமியின் தேற்றம்: P / sin α = Q / sin β = R / sin γ.
Explanation: Lami's theorem relates magnitude of three coplanar equilibrium forces to sines of opposite angles.
Explanation: Lami's theorem relates magnitude of three coplanar equilibrium forces to sines of opposite angles.
10. ஒரு புள்ளியில் செயல்படும் இரண்டு விசைகளின் திருப்புத்திறன்களின் (Moments) கூடுதல், அவற்றின் தொகுபயன் விசையின் திருப்புத்திறனுக்குச் சமம் எனக் கூறும் தேற்றம் எது?
Which theorem states that the algebraic sum of the moments of two coplanar forces about any point is equal to the moment of their resultant about the same point?
விளக்கம்: வரிக்னானின் தேற்றம் (Varignon's Principle of Moments) விசைகளின் திருப்புத்திறன் பண்பை விளக்குகிறது.
Explanation: Varignon's Theorem simplifies moment calculations using resultant forces.
Explanation: Varignon's Theorem simplifies moment calculations using resultant forces.
11. இரு சமமான, இணையான மற்றும் எதிரெதிர் திசையில் செயல்படும் விசைகளின் அமைப்பு எவ்வாறு அழைக்கப்படுகிறது?
Two equal, parallel, and opposite forces acting along different lines of action constitute a:
விளக்கம்: சமமான, இணையான, எதிரெதிர் கோட்டில் செயல்படும் விசைகள் 'இரட்டை' (Couple) எனப்படும். இது சுழற்சி இயக்கத்தை மட்டுமே தரும்.
Explanation: A couple causes pure rotational motion without linear translation.
Explanation: A couple causes pure rotational motion without linear translation.
12. ஒரு பொருளின் மீது உரசாய்வு விசைக்கும் (Limiting Friction - F), செங்குத்து எதிர்வினைக்கும் (Normal Reaction - R) இடையே உள்ள விகிதம் μ = F/R எவ்வாறு அழைக்கப்படுகிறது?
The ratio of limiting friction (F) to normal reaction (R), given by μ = F/R, is called:
விளக்கம்: உரசாய்வுக் கெழு μ = F / R. மேலும் tan λ = μ (இங்கு λ என்பது உரசாய்வுக் கோணம் ஆகும்).
Explanation: Coefficient of friction μ is the constant ratio F/R between limiting friction and normal reaction.
Explanation: Coefficient of friction μ is the constant ratio F/R between limiting friction and normal reaction.
13. கிடைமட்டத்துடன் θ கோணத்தில் 'u' ஆரம்ப திசைவேகத்துடன் எறியப்படும் எறிபொருளின் (Projectile) அதிகபட்சப் பறக்கும் நேரம் (Time of Flight - T) என்ன?
The total Time of Flight (T) of a projectile projected with velocity 'u' at angle θ to horizontal is:
விளக்கம்: எறிபொருளின் பறக்கும் நேரம் T = (2u sin θ) / g. அதிகபட்ச உயரம் H = (u² sin² θ) / 2g, கிடைத்தளம் R = (u² sin 2θ) / g.
Explanation: Time of Flight T = (2u sin θ)/g for ideal projectile motion.
Explanation: Time of Flight T = (2u sin θ)/g for ideal projectile motion.
14. எறிபொருளின் கிடைத்தள நெடுக்கம் (Horizontal Range - R) அதிகபட்சமாக இருக்க படுகோணம் (Angle of Projection - θ) என்னவாக இருக்க வேண்டும்?
The horizontal range of a projectile is maximum when the angle of projection θ is:
விளக்கம்: R = (u² sin 2θ)/g. sin 2θ அதிகபட்சம் 1 ஆக இருக்க 2θ = 90° => θ = 45° ஆகும்.
Explanation: Maximum horizontal range R_max = u²/g is achieved when sin 2θ = 1, which implies θ = 45°.
Explanation: Maximum horizontal range R_max = u²/g is achieved when sin 2θ = 1, which implies θ = 45°.
15. எளிய இசை இயக்கத்தில் (Simple Harmonic Motion - SHM) துகளின் முடுக்கம் (Acceleration) எப்போதும் எதற்கு நேர்விகிதத்தில் இருக்கும்?
In Simple Harmonic Motion (SHM), acceleration of the particle is directly proportional to its:
விளக்கம்: எளிய இசை இயக்கத்தில் முடுக்கம் d²x/dt² = -μx. முடுக்கம் இடப்பெயர்ச்சி x-க்கு நேர்விகிதத்திலும், மையத்தை நோக்கிய திசையிலும் அமையும்.
Explanation: Acceleration in SHM is directed towards the fixed center and is proportional to displacement x.
Explanation: Acceleration in SHM is directed towards the fixed center and is proportional to displacement x.
16. நேரியல் திட்டமிடுதலில் (LPP), கட்டுப்படுத்தப்பட்ட கட்டுப்பாடுகளைத் திருப்திப்படுத்தும் தீர்வுகளின் பகுதி எவ்வாறு அழைக்கப்படுகிறது?
In Linear Programming Problems (LPP), the region containing all points that satisfy all constraints simultaneously is the:
விளக்கம்: அனைத்துக் கட்டுப்பாடுகளையும் (Constraints) ஒரே நேரத்தில் திருப்திப்படுத்தும் புள்ளிகளின் தொகுப்பு சாத்தியமுள்ள தீர்வுப்பகுதி (Feasible Region) ஆகும்.
Explanation: Feasible region is the set of all points satisfying non-negativity and functional constraints.
Explanation: Feasible region is the set of all points satisfying non-negativity and functional constraints.
17. சிம்பளெக்ஸ் முறையில் (Simplex Method) அட்டவணையின் தீர்வு உகந்தது (Optimal) என்பதை அறிய Z_j - C_j இன் மதிப்பு எவ்வாறிருக்க வேண்டும்? (மீப்பெருமமாக்கல் கணக்கிற்கு)
In a Maximization Simplex Table, optimality is reached when all net evaluations (Z_j - C_j) satisfy:
விளக்கம்: Maximization கணக்குகளில் அனைத்து Z_j - C_j ≥ 0 என வரும்போது உகந்த தீர்வு (Optimal Solution) எட்டப்படுகிறது.
Explanation: Optimality condition for LPP maximization in Simplex method is Z_j - C_j ≥ 0 for all columns.
Explanation: Optimality condition for LPP maximization in Simplex method is Z_j - C_j ≥ 0 for all columns.
18. போக்குவரத்துக் கணக்கில் (Transportation Problem) தொடக்கச் சாத்தியமுள்ள தீர்வை (IBFS)க் கண்டறியும் முறைகளுள் மிகச் சிறந்த/உகந்தத் தீர்வுக்கு நெருக்கமான முறை எது?
Which method gives the best (closest to optimal) Initial Basic Feasible Solution for a Transportation Problem?
விளக்கம்: VAM (Vogel's Approximation Method) அபராதச் செலவுகளைப் (Penalties) பயன்படுத்துவதால் மிகச் சிறந்த தொடக்கத் தீர்வைத் தருகிறது.
Explanation: VAM yields an IBFS that is closest to optimal by evaluating penalty costs for rows and columns.
Explanation: VAM yields an IBFS that is closest to optimal by evaluating penalty costs for rows and columns.
19. 'ஒதுக்கீட்டுக் கணக்குகளைத்' (Assignment Problem) தீர்க்கப் பயன்படும் பிரதான கணித முறை எது?
Which algorithm is specially designed to solve Assignment Problems efficiently?
விளக்கம்: ஒதுக்கீட்டுக் கணக்குகளைத் தீர்க்க 'ஹங்கேரியன் முறை' (Hungarian Method - Kuhn-Munkres algorithm) பயன்படுத்தப்படுகிறது.
Explanation: The Hungarian Method solves assignment problems in polynomial time.
Explanation: The Hungarian Method solves assignment problems in polynomial time.
20. ஆட்டக் கோட்பாட்டில் (Game Theory) 'சேணம் புள்ளி' (Saddle Point) அமையும் போது, ஆட்டத்தின் மதிப்பு (Value of Game) எவ்வாறு கணக்கிடப்படும்?
In Game Theory, a Saddle Point exists when:
விளக்கம்: Maximin மதிப்பு Minimax மதிப்பிற்குச் சமமாக இருந்தால் ஆட்டத்தில் சேணம் புள்ளி (Saddle Point) உள்ளது.
Explanation: A saddle point is present in a payoff matrix when Maximin value equals Minimax value.
Explanation: A saddle point is present in a payoff matrix when Maximin value equals Minimax value.
21. சரக்கு மேலாண்மையில் (Inventory Control) EOQ என்பது எதனைக் குறிக்கிறது?
In Inventory Management, the abbreviation EOQ stands for:
விளக்கம்: EOQ (Economic Order Quantity) என்பது சரக்கு வைத்திருக்கும் செலவையும் ஆர்டர் செலவையும் மிகக் குறைவாக வைத்திருக்க உதவும் உகந்த ஆர்டர் அளவாகும்.
Explanation: EOQ minimizes total inventory costs including ordering and holding costs.
Explanation: EOQ minimizes total inventory costs including ordering and holding costs.
22. திட்ட மேலாண்மையில் (Network Analysis) CPM மற்றும் PERT முறைகளில் 'முக்கியப் பாதை' (Critical Path) என்பது எதனைப் பிரதிபலிக்கும்?
In CPM/PERT Network Analysis, the Critical Path is defined as:
விளக்கம்: நெட்வொர்க் வரைபடத்தில் தொடக்கத்திலிருந்து முடிவு வரை உள்ள மிக நீண்ட கால அளவு கொண்ட பாதையே Critical Path ஆகும். இதிலுள்ள செயல்களுக்கு மிதப்பு நேரம் (Slack) 0 ஆகும்.
Explanation: Critical Path is the longest sequence of dependent activities determining the minimum completion time.
Explanation: Critical Path is the longest sequence of dependent activities determining the minimum completion time.
23. A மற்றும் B என்பன இரு தனித்தனி நிகழ்வுகள் (Mutually Exclusive Events) எனில், நிகழ்தகவின் கூட்டல் தேற்றத்தின்படி P(A ∪ B) = ?
If A and B are mutually exclusive events, then P(A ∪ B) equals:
விளக்கம்: ஒன்றை ஒன்று விலக்கும் நிகழ்வுகளுக்கு P(A ∩ B) = 0. எனவே P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Explanation: For mutually exclusive events, intersection is empty, so P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Explanation: For mutually exclusive events, intersection is empty, so P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
24. 'பேயிஸின் தேற்றம்' (Bayes' Theorem) எதனை அடிப்படையாகக் கொண்டு தலைகீழ் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடப் பயன்படுகிறது?
Bayes' Theorem in probability is used to evaluate:
விளக்கம்: முன் நிகழ்தகவுகளைப் (Prior probabilities) பயன்படுத்தி, நிகழ்வு நடந்த பின் அதன் தலைகீழ் நிபந்தனை நிகழ்தகவைக் (Posterior Probability) கணக்கிட பேயிஸ் தேற்றம் பயன்படுகிறது.
Explanation: Bayes' theorem calculates conditional posterior probability based on prior evidence.
Explanation: Bayes' theorem calculates conditional posterior probability based on prior evidence.
25. ஈருருப்புப் பரவலின் (Binomial Distribution) சராசரி (Mean) மற்றும் மாறுபாட்டளவை (Variance) முறையே யாவை?
The Mean and Variance of a Binomial Distribution B(n, p) are respectively:
விளக்கம்: ஈருருப்புப் பரவலில் சராசரி = np மற்றும் மாறுபாட்டளவை = npq ஆகும். (எப்போதும் சராசரி > மாறுபாட்டளவை).
Explanation: For Binomial distribution, Mean = np and Variance = npq (where q = 1 - p).
Explanation: For Binomial distribution, Mean = np and Variance = npq (where q = 1 - p).
26. பாய்சான் பரவலில் (Poisson Distribution) அதன் சராசரி (Mean) மற்றும் மாறுபாட்டளவைக்கு (Variance) இடையே உள்ள தொடர்பு என்ன?
In a Poisson Distribution with parameter λ, the relationship between Mean and Variance is:
விளக்கம்: பாய்சான் பரவலின் சிறப்பம்சம்: அதன் சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டளவை இரண்டும் சமம் (Mean = Variance = λ).
Explanation: A key property of Poisson distribution is that its mean equals its variance (λ).
Explanation: A key property of Poisson distribution is that its mean equals its variance (λ).
27. இயல்நிலைப் பரவலின் (Normal Distribution) வளைவரை (Normal Curve) எவ்வடிவில் அமைந்திருக்கும்?
The probability density curve of a Normal Distribution is:
விளக்கம்: இயல்நிலை வளைவரை என்பது சராசரியைப் பொறுத்துச் சமச்சீரான மணி வடிவத்தில் (Bell-shaped) இருக்கும். இதில் Mean = Median = Mode.
Explanation: Normal curve is a symmetric, bell-shaped curve where Mean = Median = Mode.
Explanation: Normal curve is a symmetric, bell-shaped curve where Mean = Median = Mode.
28. கார்ல் பியர்சனின் ஒட்டுறவுக் கெழுவின் (Karl Pearson's Correlation Coefficient - r) மதிப்பு எந்த எல்லைக்குள் அமையும்?
The numerical limits for Karl Pearson's coefficient of correlation (r) are:
விளக்கம்: ஒட்டுறவுக் கெழு r இன் மதிப்பு எப்போதும் -1 இலிருந்து +1 வரை மட்டுமே இருக்கும்.
Explanation: Correlation coefficient r lies strictly between -1 and +1 inclusive (-1 ≤ r ≤ +1).
Explanation: Correlation coefficient r lies strictly between -1 and +1 inclusive (-1 ≤ r ≤ +1).
29. இரு உடன்போக்குக் கெழுக்கள் (Regression Coefficients) b_yx மற்றும் b_xy கொடுக்கப்பட்டால், ஒட்டுறவுக் கெழு r இன் மதிப்பு என்ன?
If b_yx and b_xy are two regression coefficients, then the correlation coefficient 'r' is:
விளக்கம்: ஒட்டுறவுக் கெழு 'r' என்பது உடன்போக்குக் கெழுக்களின் பெருக்குச் சராசரி (Geometric Mean) ஆகும். r = ± √(b_yx × b_xy).
Explanation: Correlation coefficient is the geometric mean of the two regression coefficients.
Explanation: Correlation coefficient is the geometric mean of the two regression coefficients.
30. மாதிரி அளவின் எண்ணிக்கை n ≥ 30 ஆக இருக்கும் போது, அது எவ்வகை மாதிரியாகக் (Sampling) கருதப்படுகிறது?
In statistical hypothesis testing, a sample is defined as a 'Large Sample' if the sample size 'n' satisfies:
விளக்கம்: மாதிரி அளவு n ≥ 30 எனில் அது பெரிய மாதிரி (Large Sample - Z test), n < 30 எனில் சிறிய மாதிரி (Small Sample - t, F, Chi-square tests) எனப்படும்.
Explanation: Sample size n ≥ 30 is classified as large sample, invoking Central Limit Theorem and Z-test.
Explanation: Sample size n ≥ 30 is classified as large sample, invoking Central Limit Theorem and Z-test.
Post a Comment